Algunos problemas de la vida real pueden ser resueltos si los expresamos con matemáticas, por lo tanto, necesitamos aprender como plantear problemas en el lenguaje matemático, las reglas del lenguaje y su manipulación. Esto lo necesita cualquier tipo de personas desde las amas de casa hasta cualquier profesionista pasando por carpinteros o mecánicos.
Aparte hay personas que se dedican a descubrir nuevas partes del lenguaje matemático. A estas personas se les llama matemáticos.
A continuación revisaremos varios ejemplos para ilustrar el carácter de las matemáticas
Considera, por ejemplo, este problema[1]:
Juan tenía 20 manzanas, Pedro tenía 30 manzanas y Antonio tenía 40 manzanas. Los tres venden sus manzanas al mismo precio, y asombrosamente los tres obtienen como producto de la venta la misma cantidad: 100 pesos. ¿Cómo pudo ser eso? La solución viene más adelante.
Veamos otro problema:
Una muchacha tiene su novio. El padre de la chica, hombre ambicioso, la compromete en matrimonio con un sujeto rico y cruel. Ella le propone a su novio que huyan juntos, pero él, acobardado, se niega a llevarla consigo y al final rompe su compromiso. El matrimonio con el hombre ambicioso se consuma. El esposo de la muchacha, cumplido su capricho, la hace objeto de maltratos y abandono. Ella toma un amante al que visita en su casa, al otro lado del río. En el curso de una de las entrevistas cae una lluvia torrencial. Crece el río, y ella debe volver a la ciudad, pues su amante, impaciente, la despide. Pero el agua ya pasa sobre el puente. La muchacha le ruega a un barquero que la lleve al otro lado del río, pero no trae dinero y el barquero la rechaza. Intenta la desdichada pasar por el puente, cae al río y se ahoga. Se pregunta ¿Quién tiene la mayor culpa de su muerte?
La respuesta a este problema no es tan sencilla como la solución del primer problema. El de las manzanas es un problema de orden matemático, y esos problemas casi siempre tienen solución. En cambio el otro relato nos plantea cuestiones de orden ético que admiten tantas respuestas como opinantes haya. Viene ahora la respuesta al problema de las manzanas, problema muy fácil de resolver por ser de matemáticas. Observa que te doy la respuesta mas no te digo como se resuelve.
Esperamos que aprendas como resolverlo durante el curso.
Los tres vendieron sus manzanas a 20 pesos la docena y 10 pesos por manzana suelta. Como Juan tenía 20 manzanas, por una docena obtuvo 20 pesos; por las 8 manzanas sueltas que le restaron obtuvo 80 pesos. Total: 100. Pedro tenía 30 manzanas. Por dos docenas obtuvo 40 pesos; por 6 manzanas sueltas obtuvo 60. Total: 100 pesos. Antonio tenía 40 manzanas. Por tres docenas obtuvo 60 pesos; por 4 manzanas sueltas obtuvo 40. Total: 100.
Otros ejemplos que sí se resuelven con matemáticas:
Sistemas de números
Para poder resolver problemas como los mencionados es necesario que antes aprendamos el uso y los nombres de las “herramientas” matemáticas necesarias para ese fin. Ese será el objetivo de las siguientes secciones. Entre las principales herramientas para resolver problemas matemáticos están los números. Existen varias clases de números.
Números Naturales (N)
• Los primeros números que seguramente se conocieron fueron los números naturales que son los más conocidos.
• Se le denota con la letra N mayúscula y sirven esencialmente para contar como cuando decimos “hay 20 personas en el salón”.
• Son los siguientes:
N = {1, 2, 3, 4, 5,…}
• Una de las características más importantes es que todo número natural distinto de 0 y 1 puede clasificarse como número primo o número compuesto.
• Un número primo (p), es aquel que sólo admite exactamente dos divisores distintos, la unidad (1) y él mismo (p), por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 31, 51, 83 entre otros, son números primos.
• Un número compuesto es aquel que puede representarse como el producto de dos o más primos, como la potencia de un número primo o como el producto de potencias de dos o más números primos; por ejemplo:
210 = 2×3×5×7 (producto de números primos distintos)
32 = (2)5 (potencia de un número primo)
144 = (2)4(3)2 (producto de potencias de números primos)
• Lo anterior es lo que establece el Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo entero no primo distinto de 1 se puede representar de forma única como producto de factores primos, salvo por el orden de los factores.
Factorización
• Factorizar un número es expresarlo como el producto de todos sus factores primos en relación con el Teorema Fundamental de la Aritmética.
Ejemplos:
Números Enteros (Z)
• Cuando las personas se vieron en la necesidad de expresar pérdidas económicas o temperaturas bajo cero tuvieron que inventar los números negativos.
• Esto da lugar al conjunto de los números enteros los cuales se denotan con la letra Z
Z = {…, -5,-4,-3,-2,0,1,2,3,4,5,…}
• Incluyen al número 0 el cual en matemáticas representa la nada.
• Los números Enteros contienen a los números naturales. Es decir todo número natural también es número entero pero lo contrario no es cierto, es decir, los enteros no son naturales.
Números Racionales (Q)
• Las fracciones representan números racionales.
• Un número racional es un número de la forma a/b , con b ≠ 0, en donde a se llama numerador y b denominador. El denominador indica en cuantas partes se va a dividir una unidad entera y el numerador cuantas partes se tomarán de ellas.
• Se denotan con la letra Q.
• Los números racionales se pueden distinguir de otros porque se escriben de dos maneras: La primera manera de escribirlos es como quebrados, esto es como el cociente (o la división) de dos números enteros. Son números que tienen la forma
donde a y b son números enteros y se llaman numerador y denominador respectivamente. Así por ejemplo son racionales
• La segunda manera de escribirlos es como números que tienen decimales que se repiten con un patrón infinito. Por ejemplo 5.33333 es un racional porque tiene decimales y estos siguen un patrón de repetición. Otro ejemplo es el número 0.857142857142857142…. Este número también es racional porque tiene decimales que tienen un patrón de repetición infinito. El patrón que se repite es 857142.
• Se puede demostrar que todos los quebrados se convierten en números con decimales y patrón de repetición infinito, y al revés también, todos los decimales con patrón de repetición se pueden escribir como quebrados. Quiere decir que son los mismos.
• Por ejemplo el número anterior que mencionamos, 0.857142857142857142 es el resultado de dividir
y el número
También el número
es igual al número 0.31481481481481481481481481481
· Ojo.- Es importante darse cuenta que cada conjunto de números más chico está contenido en el más grande: los naturales también son enteros y los enteros son racionales.
NUMEROS IRRACIONALES
• Existen ciertos números, que por cierto son infinitos también.
• Esos números no se pueden escribir ni como quebrados ni como una sucesión periódica de decimales (como los números racionales que se vieron).
• Sí se pueden expresar como una sucesión de decimales (pero no periódica o con patrón). A estos números se les conoce con el nombre de números Irracionales y se les denota con la letra I.
• Ejemplos de ellos son el número llamado π (pi). Este número resulta de dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro como se muestra en la figura, y es aproximadamente 3.1415926535897932384626433832795...
El número π (pi) no es racional porque sus cifras, aunque decimales, no se repiten dentro de un patrón.
· Los matemáticos han demostrado que aunque se encuentren más decimales de este número, nunca habrá un patrón que se repita
Otro ejemplo de un número irracional es el que resulta de sacarle raíz cuadrada al número 2, el cual da como resultado: 1.4142135623730950488016887242097...y sus cifras, igual que π, no se repiten en un patrón periódico. Un ejemplo más de número irracional es raíz de 3 y raíz de 5
Números Reales (R)
Solo nos falta un conjunto de números. Cuando se juntan los números racionales (Q) con los números Irracionales (I) se obtiene otro conjunto de números más grande que se llaman los números Reales. Se denotan con la letra R y los podemos decir que son los números que se pueda escribir como una sucesión de decimales infinito, ya sean periódicos o no.
Resumiendo, escribiríamos:
R = {Cualquier número que se pueda escribir como una sucesión de decimales infinito ya sean periódicos o no}
O también los podemos describir como:
R = {La unión de los racionales con los irracionales}
