Sesión 2. Introducción al Álgebra

2.1 Por qué Álgebra.

En matemáticas se utilizan letras para representar números. Esto se hace de la misma manera en que utilizamos la letra x para representar a una persona cuando decimos: “me encontré a una persona x (o a un fulano) en el súper”, dando a entender que fue cualquier persona y que no era necesario decir cuál. Estamos generalizando.

El uso de letras o literales en matemáticas dio lugar al Álgebra que no es más que hacer cuentas utilizando letras. Las fórmulas que aprendiste en primaria y secundaria son un ejemplo de esto.

¿Recuerdas de tus clases de primaria las fórmulas de las figuras geométricas? Repasemos algunas.

Las fórmulas son indicaciones para resolver problemas que tiene un mismo proceso. Están escritas utilizando el lenguaje del álgebra ¿Qué pasaría si no utilizáramos formulas con letras? Nos tendrían que enseñar cómo hacerlo para cada una del infinito número de figuras que existen. Aprendiendo solo una fórmula que utiliza letras, las cuales representan números reales, podemos aplicarla para cualquier figura del mismo tipo. Por utilizar letras que representan cualquier número, la fórmula se convierte en una ley general.

El procedimiento para usar las fórmulas es sustituir los valores que se tienen en el lugar de las letras y posteriormente realizar las cuentas resultantes. Por ejemplo si queremos encontrar el área de un triángulo cuya base b mide 2 y su altura a mide 10 sustituimos estos valores en la primera de las fórmulas anteriores y hacemos las cuentas, esto es:

A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, x, y).

Utilizamos el Álgebra elemental, que es la forma más básica del álgebra, para:

• La formulación general de leyes de aritmética (como las fórmulas). Este es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

• Referirnos a números "desconocidos", para formular ecuaciones que representan problemas de la vida real y para estudiar cómo resolverlas.

• La formulación de relaciones funcionales que llamamos teoremas o leyes de las matemáticas

2.2      Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico lo constituyen los números, las letras y los signos de operación. En nuestro caso nos permite representar situaciones de la vida real. El resultado es un enunciado matemático también llamado modelo matemático. Este modelo matemático nos dice como están relacionadas las cosas de la vida real


Veamos un ejemplo: Vamos a una tienda y se nos dice que un pantalón más una camisa cuestan 375 pesos ¿Cómo escribiríamos eso en lenguaje algebraico? O en otras palabras ¿Cuál es el modelo matemático que representa esa situación? Respuesta: No sabemos cuánto cuestan ni el pantalón ni la camisa pero sabemos que la suma de sus precios es igual a 375. Así es que utilizamos letras para representar los precios desconocidos por ejemplo p para el pantalón y c para la camisa. Tendríamos por lo tanto el siguiente modelo matemático: p+c = 375. La relación de la vida real que representa es la siguiente: “la suma del pantalón mas la camisa es 375”

Nota: si quisiéramos “resolver” este modelo matemático para encontrar los precios del pantalón y la camisa no podríamos hacerlo porque existen infinitos números que sumados nos dan 375 (por ejemplo 25 y 225; 55.67 y 194.33; -21.12 y 262.12, Etc). Necesitaríamos en este problema más datos para disminuir las posibilidades.

¿Y si nos dijeran que el pantalón cuesta el doble de la camisa? ¿Cómo lo escribiríamos en matemáticas? Si razonamos nos daríamos cuenta que dos camisas tendrían el costo de un pantalón, por lo tanto 2c = p. Este es el modelo que representa la segunda condición.

Nota: Ahora si podríamos saber cuanto cuesta cada cosa si utilizamos los dos modelos simultáneamente. Como 2c = p, podemos sustituir el valor de p en el primer modelo, esto es, en donde haya una p ponemos su equivalente que es 2c porque sabemos que son lo mismo. Tendríamos por lo tanto: 2c+c = 375 O lo que es lo mismo: 3c= 375 . De aquí razonamos que si 3 camisas valen 375 entonces una camisa debe valer 125, lo cual resulta de dividir 375 entre 125. Aprenderemos a resolver este tipo de problemas durante el curso

Los signos de operación en el lenguaje algebraico son:

Suma:     +

Resta:     -

Multiplicación: a ∙ b     (Se usa un punto. No se usa el “por” de la aritmética para no confundirlo con la x).
También dos letras juntas indica que se están multiplicando por ejemplo aa
o también se usan paréntesis   (a)(b)

División: Se pueden utilizar cualquiera de estos símbolos 

,    / ,   ׃  

 2.3 Problemas resueltos de lenguaje algebraico

• Escribe en algebra un número cualquiera

Solución: Si te piden que escribas algún número en aritmética, tu respuesta sería 7 o 9 o -28, Etc. En álgebra la respuesta es una letra. Por ejemplo a, x, y, z. En álgebra representamos los números con letras.

• Escribe en álgebra la suma de tres números diferentes cualesquiera

Solución: a + b + c

Escribe la suma del cuadrado de un número más el cubo de otro número mas la cuarta parte de otro.

• Solución: 

• Si tenemos un número entero a, escribir los dos números enteros consecutivos posteriores

Solución: a + 1, a + 2 porque el número siguiente de cualquier entero se encuentra sumándole 1 al anterior

• Si x es un número entero, escribir los dos números anteriores consecutivos a x

Solución: x – 1, x - 2

• Si y es un número entero par, escribir los tres números enteros pares consecutivos posteriores a él

Solución: y + 2, y + 4, y + 6

• Pedro tenía $a, cobró $x y le regalaron $m, ¿cuánto tiene Pedro?

Solución: Los haberes se escriben con el signo +. Son haberes lo que uno tiene o le regalan o gana. Son deberes lo que uno pierde. Así que: Pedro tiene a + x + m

• Escribe la diferencia entre dos números

Solución: La diferencia de dos números es lo mismo que la resta entre ellos. Así el resultado es: a - b

• Yo debía x pesos después pagué 6. ¿Cuánto debo ahora?

Solución: x es mi deuda la que se disminuye en 6 pesos. Así que me quedan x – 6 pesos

• De una jornada de x Km se han recorrido y Km. ¿Cuántos Km faltan por recorrer?

Solución: La diferencia entre el kilometraje total y el kilometraje recorrido nos da el resultado, esto es, faltan por recorrer x – y kilómetros

• Recibo $x y después $a. Si gasto $m ¿Cuánto me queda?

Solución: Se reciben x + a y se le quitan los gastos. Así que nos quedan (x + a – m) pesos

• Escribe la suma de dos números al cuadrado

Solución: Aquí debemos ser muy cuidadosos. ¿A quién se refiere la palabra “cuadrado” en la pregunta? ¿A los números o a la suma? Esto es un problema de nuestro lenguaje, la frase es ambigua. Así como está escrita, la frase se refiere a los números porque la palabra “números” es la más próxima a la palabra “Cuadrado”. Así es que la solución será:

En este caso es preferible decir “la suma de los cuadrados de dos números”

Pero si la palabra cuadrado en la pregunta se refiere a la suma, la solución será y en español sería preferible decir “la suma al cuadrado de dos números”

Intenta resolver estos problemas:

• En un rectángulo el lado mayor mide 6 unidades más que el lado corto. Escríbelo con álgebra y represéntalo con un dibujo.

• Si un segmento de recta mide x unidades ¿cuánto medirá un segmento del doble de tamaño que el primero?. Represéntalo con un dibujo

•  Si un segmento de recta mide x unidades ¿cuánto medirá un segmento de la mitad de tamaño que el primero?. Represéntalo con un dibujo

•  Luis tiene 15 años y su hermano Pedro tiene 5. ¿Cómo escribirías esta relación en álgebra de dos maneras?

• Luis gana $15.00 diarios más que Lauro.

 ¿Sabemos cuánto gana Luis?

 ¿Sabemos cuánto gana Lauro?

 ¿Cuál sueldo crees que debemos conocer primero? 

Representa algebraicamente los sueldos de Lauro y de Luis de dos maneras diferentes

•  Un automóvil cuesta $56 000.00 más que una motocicleta.

 ¿Sabemos cuánto cuesta el automóvil? R. No

¿Sabemos cuánto cuesta la motocicleta? R. No

¿Qué vas a tomar como incógnita? R. El auto cuesta más que la moto. La moto es más fácil

Utiliza el álgebra para representar el valor del automóvil y el de la motocicleta de dos maneras diferentes R.

  

•  El promedio de dos calificaciones diferentes es 8

 ¿Cómo se obtiene el promedio de dos cantidades?

¿Cómo obtienes el promedio de tres cantidades?

¿Cómo representas esta situación en álgebra?

  

• Para hacer un vestido se necesita tres veces más tela que para hacer una blusa

¿Cuál cantidad de tela conviene tomar como incógnita, la del vestido o la de la blusa? ¿Por qué?

Representa algebraicamente la relación que se presenta en las dos prendas

Si escogieras la cantidad de tela de la otra prenda como incógnita ¿cómo representarías algebraicamente el problema?

  

• El largo de una cancha de futbol es el triple del largo de una cancha de básquetbol

Que conviene tomar como incógnita