jueves, 17 de febrero de 2011

Sesión 3. La Recta Real y la suma y resta de números reales

  Para facilitar la comprensión de los números reales, los matemáticos se dieron cuenta que una línea recta a la cual se le asigna una unidad de medida se puede utilizar como si fuera el conjunto de los números reales. Cada punto de la recta se hace corresponder a un número real. Se señala primero el 0 en la recta y los números reales negativos quedarán a la izquierda del 0 y los positivos a la derecha. Ejemplo:


En esta recta por ejemplo están señalados los puntos -1.25, 0.5 y 3.33



Debes darte cuenta que existe un acuerdo mundial en la manera de escribir los números. Los números positivos pueden representar ganancias y también distancias, temperaturas o cantidades arriba de un punto dado y no se les escribe su signo (+) antes del mismo. En cambio los números negativos representan pérdidas y también distancias, temperaturas o cantidades debajo de un cierto punto. Pero a los números negativos sí se les debe anteponer su signo (-). Por ejemplo -4.6 representa una pérdida y 7.2 representa una ganancia.

Esto de los signos es lo que más confusión crea en los alumnos. Así que cuando hagas una operación (suma, resta, multiplicación o división) es importante que te des cuenta si estás operando con “ganancias” o “pérdidas”, es decir con números positivos o negativos.

Estamos acostumbrados a operar con números positivos. Todos sabemos cuánto es por ejemplo 5 + 4. Es 9. También sabemos restar siempre y cuando el minuendo sea más grande que el sustraendo por ejemplo 10.25 - 7.5 = 2.75 Fíjate que en este último ejemplo estamos tratando con números positivos también. El signo – que ves representa la operación de resta pero el 7.5 es positivo y el 10.25 también. Así que le estamos “quitando” un número positivo a otro positivo.

¿Pero cuál es el resultado de 5 – 10? ¿O como se debe interpretar 7 – (-20)? ¿O qué obtenemos de la siguiente cuenta y qué quiere decir: -24.5 + (-7)?

Como entre los números reales hay tanto números positivos como negativos, la recta real nos puede servir para resolver esas preguntas.

3.1 La Suma algebraica de números reales

Por ejemplo, sumemos el número 4 con el número 3. Cada uno de estos números se llama sumando y el resultado se llama suma. Tú ya sabes hacer la suma aritmética porque son números naturales. Pero vamos a utilizar la recta real para hacer la suma algebraica; así aprenderemos a sumar cualquier par de números independientemente de su signo. El procedimiento sería el siguiente: Nos paramos en el 0 de la recta real y, dado que el 4 que nos piden sumar es positivo, caminamos 4 rayitas a la derecha. A partir de ahí caminamos otros tres pasos también a la derecha (porque el 3 también es positivo) y revisamos donde estamos. De seguro estaremos parados en la rayita 7. Ese es el resultado de la suma como ya sabíamos que iba a suceder.

Otro ejemplo: Sumemos 8 + (-5). (Ojo. Utilizamos paréntesis porque no es válido escribir dos signos juntos para evitar confusiones). Primero interpretemos qué quiere decir esta suma. Estamos sumando una “ganancia” de 8, mas una “pérdida” de 5. A sumas de este tipo no estamos muy acostumbrados.

Procedemos igual. Nos paramos en el cero y avanzamos 8 unidades a la derecha porque nos dieron un 8 positivo. A partir de ahí retrocedemos 5 pasos porque nos pidieron sumar -5, esto es, sumar una pérdida. El resultado es que estaremos parados en la rayita 3

Ejercicios. Realiza tú solo las siguientes sumas e interprétalas:
-7+ (-13)=
-225 + 80=
77 + (-13)=
27 + 85=

Importante: Fíjate que cuando sumas dos números negativos el resultado (el cual se llama “suma”) será negativo y cuando sumas dos números positivos el resultado o la suma es siempre positivo. Si sumas un número negativo y otros positivo el signo del resultado será el del sumando mayor. Fíjate en la siguiente tabla:


Ejemplos:

1. 78 + (-53) = 25

2. -78 + (53) = -25

3. 78 + 53 = 131

4. -78 + (-53) = - 131

5. 2x + 5x = 7x

6. -27a + 34a = 7a

7. -85y + (-42y) = -127y

8. 25b + (-84b) = -59

9. 12x + (-10x) + 30x = 42x + (-10x) = 32x

10. -20a + 40a + (-35a) + 70a + 50a = 160a + (-55a) = 105a

11. Un hombre cobra $140. Paga una deuda de $80 y luego hace compras por valor de $95. ¿Cuánto tiene? Respuesta: +140 + (-80) + (-95) = 140 + (-175) = -35 (debe 35)

12. A las 6 a. m. el termómetro marca – 6°. A las 9 a. m. ha subido 8° y desde esta hora hasta las 6 p. m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura a las 6 p. m.

Respuesta: -6 + 8 + (-11) = -17 + 8 = - 9

13. 2a + (-5b) + 8b + (-10a) = 2a + (-10a) + (-5b) + 8b = -8a +3b

3.2 Reglas de la suma

Debemos aprendernos de memoria estas reglas de la suma


1. El orden de los sumandos no altera la suma

2. A cualquier número real que le sumamos el cero se queda igual

3. Si sumamos un número real con su inverso obtenemos cero (el inverso de un número real, también llamado simétrico, es el negativo de ese número)

4. Si tenemos que sumar tres números podemos sumar primero cualquier par de ellos y al resultado sumarle el número que falta

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