miércoles, 18 de mayo de 2011

Sesión 13. Ecuaciones. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas


Algunos problemas de la vida real que queremos resolver con matemáticas, dan como resultado no una sino varias ecuaciones. En este apartado veremos cómo resolver simultáneamente dos ecuaciones lineales.
Supongamos por ejemplo que Pepito va a la tienda a comprar plumas y lápices. El dependiente le dice: si compras un lápiz y una pluma deberás pagar 55 pesos y si compras dos lápices y tres plumas deberás pagar 140 pesos. La pregunta es ¿cuánto cuesta cada lápiz y cuanto cuesta cada pluma?
Como resultado de que hay dos condiciones o posibilidades, cada una de ellas da lugar a una ecuación lineal con dos incógnitas. Si denotamos el precio del lápiz con la letra x y el precio de la pluma con la letra y, tendremos lo siguiente:
La primera posibilidad “si compras un lápiz y una pluma deberás pagar 55 pesos”, la podemos escribir en matemáticas como x + y = 55 que sería la ecuación 1. La segunda posibilidad, “si compras dos lápices y tres plumas deberás pagar 140 pesos”, se escribiría matemáticamente como 2x + 3y = 140 que sería la ecuación 2. Tenemos pues dos ecuaciones y cada una de ellas tiene dos incógnitas.
En este problema hay la suposición implícita de que los  costos de la pluma y el lápiz no cambian, independientemente de la opción que se elija. Por lo tanto el valor de x y el valor de y que se obtengan deben ser solución de cada ecuación simultáneamente, por eso se llama “la solución del sistema de ecuaciones"
La solución para este sistema de ecuaciones es x = 25, y = 30. Fíjate bien que no hemos visto como se encuentra esta solución, ese es el tema de esta sección. Pero lo que debes hacer ahora es comprobar si verdaderamente estos dos valores son la solución del sistema. Para eso deberás sustituir los dos valores en cada ecuación y observar si después de hacer las operaciones respectivas obtienes algo verdadero.
Es importante notar que si tuviéramos dos incógnitas pero solo una ecuación tendríamos un problema difícil o imposible de resolver. Por ejemplo si tuviéramos solamente la primera condición “si compras un lápiz y una pluma deberás pagar 55 pesos” tendríamos la ecuación  x + y = 55. Esta ecuación
tiene infinitas soluciones porque hay infinitos pares de números cuya suma es 55. Por ejemplo (50, 5), (49.5 , 5.5), (20.422 , 34.578) Etc., son todas parejas de números que suman 55.  Así pues, con esta sola ecuación nunca podríamos saber cuánto costaron el lápiz y la pluma porque, para este caso, hay infinitas soluciones.


Por lo tanto, es importante saber que un sistema de ecuaciones no siempre tiene solución. Cuando tratamos de resolver un sistema de este tipo pueden ocurrir tres cosas:
1.      El sistema no tiene solución
2.      El sistema tiene infinitas soluciones
3.      El sistema tiene una solución única
Analicemos cada caso por separado:
1.     Ninguna solución
Para esto construyamos un sistema de ecuaciones con los siguientes enunciados:
Por el lápiz y la pluma pagué 100 pesos
Por el lápiz y la pluma pagué 200 pesos
Si escribimos en matemáticas estos dos enunciados obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 100
x + y = 200
Si tratáramos de resolverlo solamente por observación,deberíamos de encontrar dos números que sumados den al mismo tiempo 100 y 200.

 Desde luego que eso no puede ser. No existen dos números que al sumarlosobtengamos un número diferente. O es 100 o es 200 pero no los dos. Concluimos aquí que este sistema de ecuaciones no tiene solución, porque no hay dos números que al sustituirlos en lugar de x  y   en las dos ecuaciones nos proporcionen algo verdadero.
2.   Infinitas soluciones
Ahora supongamos que tenemos los siguientes enunciados:
Por un lápiz y la pluma pagué 100 pesos
Por tres lápices y dos plumas pagué 300 pesos
 
Las ecuaciones resultantes de estas dos suposiciones son:
x + y = 100
3x + 3y = 300
 
Fíjate que aquí la ecuación 2 se obtiene multiplicando cada miembro de la ecuación por 3. O sea que la ecuación 2 es la misma que la ecuación 1. (Recuerda que esto hacíamos cuando resolvíamos ecuaciones con una incógnita. Transformábamos la ecuación en otra haciendo algo en los dos miembros, pero era la misma ecuación o más bien dicho, eran ecuaciones equivalentes).
Quiere decir que en realidad no tenemos dos ecuaciones, sino una sola y con dos incógnitas. Y como ya vimos, una ecuación con dos incógnitas tiene soluciones infinitas

3.   Una solución y es única
Este es el caso que más interesa. En seguida veremos algunos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. El método también nos dirá si no existe solución

11.1   Método de suma y resta para resolver sistemas de ecuaciones

Este método consiste en sumar las ecuaciones término a término para que se anulen una ecuación y
una de las incógnitas y nos quede solo una ecuación con una incógnita. Esas ya sabemos resolverlas. Si vemos que al sumarlas no se anula alguna variable entonces transformamos una de las ecuaciones, o ambas, previamente a la suma y después sumamos.
Empezaremos desde las más sencillas y avanzaremos a otras más laboriosas.
Ejemplo: resolver:
 x+ 2y = 3
-x + y = 0
 
Estas ecuaciones están perfectas para sumarlas término a término porque los signos de la variable x en cada ecuación son diferentes y tienen el mismo coeficiente. Efectuemos la suma:
 
 x+ 2y = 3
-x +y = 0
0 + 3y =3
Es decir, que tenemos:    3y = 3
 
Fíjate que aquí ya eliminamos dos cosas: una ecuación junto con la incógnita x. Ahora tenemos una sola  ecuación con una sola variable 3y = 3. De aquí obtenemos el valor de y.   y= 3/3. Por lo tanto y
= 1
.
Para obtener el valor de x lo que se debe hacer es sustituir el valor de y, que ya encontramos, en cualquiera de las dos ecuaciones. Por lo general debemos elegir la más simple. En este caso es la ecuación 2). Sustituyendo el valor encontrado en esta ecuación tenemos  -x + 1 = 0. De aquí –x = -1  y multiplicando ambos miembros de la ecuación por -1, obtenemos x = 1.

Para concluir lo que debemos hacer es comprobar si la solución encontrada es correcta. Para esto debemos sustituir los dos valores encontrados en cada una de las dos ecuaciones y ver si obtenemos una verdad. Tenemos entonces sustituyendo en la ecuación 1) 1 + 2(1) = 3
Sustituyendo en la ecuación 2) tenemos: -(1) + 1 = 0. Esto es, 0 = 0. Lo cual también es verdad, por lo tanto los dos números (1,1) si son la solución.

Ejemplo: resolver:






















Ahora solo sustituimos el 3 en cualquiera de las ecuaciones, la (1) es más fácil. Sustituyendo el valor encontrado en esta ecuación tenemos 3 + 6y = 27, de aquí tenemos que eliminar el 3 del lado izquierdo de la ecuación para dejar ir despejando a la y:  6y = 27 – 3, y esto es igual:  6y = 24,  y por último despejamos completamente a la y: y = 24/6 = 4

Por último podemos sustituir estos dos valores encontrados x = 3; y =4, en las dos ecuaciones y
encontraremos nuestra igualdad.


Ejemplo. Resolver:



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